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Presentación del libro: “Cervantes, Don Quijote y las Matemáticas” en Albacete

La antigua y falsa separación entre Ciencias y Letras la arrastramos desde la escolástica con las enseñanzas del Trivium y el Quadrivium .
Pero   la mayor parte de los científicos a lo largo de la historia se han distinguido por su gusto por las letras, siendo alguno de ellos destacados humanistas. Valga como ejemplo nuestro premio Nóbel de literatura  D.José de Echegaray, que era matemático o Bertrand Russell, también matemático y también distinguido con dicho premio.

Pues resulta que en la mejor novela de todos los tiempos, nuestro Don Quijote de la Mancha , del cual se cumple este 2015 el cuarto centenario de la publicación de su segunda parte El ingenioso caballero don Quijote de la Mancha, está impregnada por todas partes de la más grande de todas las ciencias, las matemáticas.

A eso se han dedicado dos grandes profesores y amigos Luis Balbuena Castellano y Juan Emilio García Jiménez,  a escudriñar entre sus páginas buscando matemáticas,y a plasmarlo en el libro: “Cervantes, Don Quijote y las Matemáticas” cuya presentación  tendrá lugar el próximo 4 de mayo, lunes, en la Fábrica de Harinas de Albacete a las 18 horas.

CARTEL Presentación en Albacete Don Quijote y las matematicas
 
Cervantes, aunque en su juventud no debió estudiar matemáticas, debido a la precariedad de su familia, sin embargo se enroló en la marina, como todos sabemos, y allí debió de aprenderlas y reconocer su gran importancia. Así lo pone en boca de Alonso Quijano cuando habla de los conocimientos que debe tener un caballero andante:
–Es una ciencia –replicó don Quijote– que encierra en sí todas o las más ciencias del mundo, a causa que el que la profesa ha de ser jurisperito y saber las leyes de la justicia distributiva y commutativa, […] ha de ser teólogo […]; ha de ser médico […]; […] ha de ser astrólogo, para conocer por las estrellas cuántas horas son pasadas de la noche, y en qué parte y en qué clima del mundo se halla; ha de saber las matemáticas, porque a cada paso se le ofrecerá tener necesidad dellas; […].

En la presentación. con marcado carácter didáctico y apta para todos los niveles, los profesores nos desvelarán algunas de las múltiples pinceladas que ellos han encontrado en la obra de Cervantes.

Como secretario de publicaciones quisiera invitaros a todos los albaceteños  que queráis asistir

Don Quijote y las matematicas_carta invitación presentación Albacete

 

El libro está editado por el Servicio de Publicaciones de la FESPM dirigido desde  la Sociedad Castellano Manchega de Profesores de Matemáticas

 

Una fórmula para predecir tu relación: el Teorema Katherine.

Antes de empezar estas mini-vacaciones me leí un libro de ficción llamado el Teorema Katherine (John Green, literatura juvenil). A pesar de ser un libro de ficción, parte de una base matemática que desarrolla a lo largo de la trama y que justifica en todo momento mediante referencias matemáticas a distintos trabajos. Para poder adentrarnos en el tema de números que es lo que nos interesa cabe añadir cuatro apuntes acerca de la historia:

Colin es un joven prodigio que trata de diseñar una fórmula que prediga una relación sentimental. ¿En qué se basa? Pues inicialmente tiene la – ¿mala? –  experiencia de haber mantenido 19 relaciones sentimentales con 19 chicas que se llamaban de la misma forma: Katherine. Colin quiere saber cuándo conocerá a la próxima de sus novias y cuanto tiempo estarán juntos. Un pequeño detalle, a Colin le han dejado en todas y cada una de sus 19 relaciones y de ahí el interés en encontrar un predictor matemático para sus líos amorosos.

¿Cómo se supone que una fórmula puede predecir una relación sentimental? Necesitamos transformar algo tan abstracto como el amor entre dos personas a un objeto matemático representable y cuantitativo. Supongamos que podemos dibujar una relación según una gráfica, lo que representaríamos en los ejes cartesianos sería algo tal que así:

es.plot

 

Asignamos al eje de las x la variable tiempo. La primera vez que la curva cruza el eje de las abcisas se da por iniciada la relación y en consecuencia se dará por concluida la segunda vez que lo vuelva a cruzar.

Volviendo al ejemplo de arriba, observamos cómo se trata de una relación que daría su inicio un martes (x=-1) y acabaría un miércoles(x=+1). Sí, matemáticamente podemos decir que ha sido una relación independientemente de su brevedad). Además, siendo algo más rebuscados y para ahorrarnos parámetros algebraicos vamos a asumir las siguientes directrices:

  • Si la curva cruza el eje de las x desde arriba (por lo que en este punto sería decreciente, con pendiente negativo) la mujer deja al hombre.
  • Mientras que si la curva cruza el eje de las x desde abajo (por lo que en este punto sería creciente puesto que tiene pendiente positivo) sería el hombre quien dejara a la mujer.

En realidad el género aquí es totalmente trivial, también es válido para relaciones homosexuales. Simplemente debes asignar un pendiente a cada miembro de la relación (por ejemplo hombre 1 y hombre 2 o mujer 1 y mujer 2).

En la gráfica inicial, podemos ver como la relación empieza el martes cuando la función cruza el eje de las x por primera vez. Entre la noche del martes al miércoles (x=0) encontramos el punto más alejado del eje de las x (y=0). Esto significa que nos hallamos en el momento en que las perspectivas de la pareja se encontraban lo más alejadas de romper, es un mínimo. A partir de aquí la función se vuelve creciente y cuando cruza de nuevo el eje de las x (y vuelve a ser y=0) la mujer es dejada por el hombre. Éste es un ejemplo teórico para la función -x2.

Inciso: He utilizado una función sencilla (-x^2) para esquematizar como sería una relación a la que podemos aplicar nuestra teoría. Me parece curioso señalar la cantidad de hechos sobre los que podemos especular para que casualmente una noche de un día a otro pase algo que obligue a la mujer a acabar la relación que escasas horas antes había empezado. Ahí lo dejo (y no seáis malpensados).

Otro ejemplo de función algo más complejo sería:

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¿Cómo lo interpretamos?

A priori es una relación que empieza viento en popa pero que va perdiendo fuelle de manera gradual hasta que la mujer (u hombre1/mujer1 si es una pareja homosexual) decide romper.

Después de leer ésto y cuando tengo tiempo me entretengo en pensar cómo serían algunas relaciones que siguieran funciones típicas como:

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Pero la cosa no se puede quedar en funciones, una representación algebraica hecha a mano alzada. No. Colin necesitaba buscar una ecuación universal lo suficientemente versátil como para representar todas las posibles relaciones sentimentales que puedan darse entre ambos sujetos.

De la siguiente manera, Colin parte de una función que se asemeja a una de sus muchas aventuras con alguna Katherine y no hace más que añadir factores sociales que puede cuantificar – más o menos -. La cosa queda así finalmente (clica encima encima de la imagen para ampliar):

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La fórmula no funcionó para predecir futuras relaciones pero sí explica bastante bien el transcurso de relaciones pasadas. ¿Os suena a humo? Pues nada más lejos de la realidad, todas las matemáticas que subyacen en la novela de John Green son parte de un trabajo del matemático – y ahora político por el Senado de Illinois – Daniel Biss. El Dr Biss es investigador de la Universidad de Chicago y es quien ha puesto nombre y color a la fórmula que acabamos de ver. Podéis encontrar más información sobre su persona aquí.

Espero que os haya gustado esta historia, a mi desde luego me fascinó desde que leí el libro. Tenéis más información del libro aquí e incluso he encontrado un simulador para que emules en forma de axioma tus relaciones pasadas: aquí mismo.

PD: [Expongo aquí el significado de cada incógnita, aunque parece algo esotérico lo enuncio a continuación por si hay algún lector muy interesado en saber de dónde sale cada valor:

  • A: Es la media de la edad de ambos componentes de la relación.
  • D: Diferencial dejador dejado. En escala de 1 para máximo dejador y 0 para máximo dejado. Promediar persona A y B para todas sus relaciones.
  • C: El diferencial de popularidad (Popularidad individuo A – Popularidad individuo B, en una escala de 1 a 1000 y dividido entre 75).
  • H: El diferencial de atractividad: (Atractividad individuo A – Atractividad individuo B, en una escala de 0 a 1).
  • P: Diferencial Introvertido/Extrovertido, en una escala de 0 para el máximo nivel de introversión vs 5 para máximo nivel de extroversión.]

XXVI Olimpiada Matemática Provincial de Albacete

Como todos los años,  arrancamos una nueva edición de la Olimpiada Matemática de Albacete, este año celebramos la vigésimosexta.

La importancia de esta actividad es su doble función de popularizar las matemáticas entre el alumnado de primaria y secundaria y con el desarrollo de todas sus fases, buscar también la excelencia en esta materia.

Es bueno recordar que las Matemáticas son la llave de todas las ciencias e imprescindibles para conocer el mundo que nos rodea.

Como dijo Jorge Wagensberg “Dios pudo inventar la Física pero tuvo que aceptar las Matemáticas”

También realizamos un concurso de carteles donde buscamos esa unión entre matemática y estética.  La ganadora del cartel de esta edición ha sido Paula Hernando Vivas alumna de 3º ESO del IES Andrés de Vandelvira de Albacete.

Aquí podéis apreciar el cartel con más detalle

Cartel Pequeño
Como siempre también  proponemos unos problemas para que trabajéis en esta primera fase. Recordar que lo importante es la resolución de problemas.
También tenéis los enlaces en nuestra nueva página web

 

II CEAM CM con Antonio Pérez y Gaussianos

El II Congreso de Enseñanza y Aprendizaje de las Matemáticas de  Castilla la Mancha tendrá lugar en Albacete, en la Escuela politécnica, el 16 de enero de 2015.

Para la inauguración contamos con la presencia de Antonio Pérez Sanz, magnífico divulgador y  profesor de todos conocido por sus magnícas series Universo Matemático y   +  x  - (Más por menos)

Con Antonio Pérez en Valencia

Y para la clausura tenemos al matemático y reconocido blogero de Puertollano Miguel Ángel Medina Morales, mas conocido como Gaussianos

Con Miguel Ángel en Toledo

Por medio de estos dos grandes espadas contaremos con las experiencias de los docentes de todos los niveles de Castilla la Mancha y de  otros sitios.

Los docentes que pertenezcan a la JCCM deben inscribirse a traves de la intranet y en su apartado de formación y el resto de profesores y alumnos puede hacerlo a través de este SITE que he creado.

Las jornadas están organizadas por la SCMPM y por el CRFP de la JCCM.

Espero que participen muchos maestros y profesores y estas jornadas nos sirvan para aprender todos de todos y así mejorar nuestra práctica docente.

#6 Martes Con Mates La Conjetura de Goldbach

La Conjetura de Goldbach es un problema matemático que lleva de cabeza a los investigadores del gremio desde hace unos cuantos siglos.

En una carta a Euler – nuestro amigo Euler -, Goldbach escribía lo siguiente:

 

Todo número entero mayor que 5 puede escribirse como la suma de tres números primos.

 

Partiendo de estas consideraciones, ya en 1742, Goldbach postuló su famosa conjetura:

 

Todo número par mayor que 2 puede escribirse como la suma de dos números primos.

 

Aquí tenemos una sola conjetura pues el segundo enunciado no es más que una reexpresión de la primera. A esta conjetura se la ha llamado conjetura binaria o conjetura fuerte de Goldbach, pero existe otra conjetura no tan conocida del mismo autor: la conjetura débil.

Esta se puede escribir como:

 

Todo número impar mayor que 9 se puede escribir como la suma de tres números primos impares.

 

En esta entrada vamos a abordar la fuerte. La conjetura débil presumiblemente ha conseguido su demostración completa, por lo que le dedicaremos otra entrada la semana que viene a hablar de ella.

 

Número de Goldbach

Aunque el término se halla ampliamente en desuso, un número de Goldbach es aquel entero par que puede expresarse como la suma de dos números primos. O lo que es lo mismo: Aquel número que cumple la conjetura fuerte.

A continuación tenemos algunos números de Goldbach:

16 = 13 + 3

14 = 7 + 7

12 = 7 + 5

 

Si además tratáis de descomponer los números pares mayores que 2 hasta 20, notaréis que algunos tienen más de una vía de descomposición. Es decir, podemos expresar estos números de Goldbach como diferentes sumas.

Este ejercicio se conoce como partición de Goldbach: consiste en tomar un número de Goldbach o candidato a tal y descomponerlo en suma de dos primos distintos. Como podemos comprobar, existe una o más de una partición para cada número de Goldbach:

100 = 3 + 97 = 11 + 89 = 17 + 83 = 29 + 71 = 41 + 59 = 47 + 53

 

La solución

El estado actual de la resolución de la conjetura fuerte de Goldbach se halla completamente abierto.

La mayoría de la comunidad científica acepta que la conjetura es cierta por motivos probabilísticos. El principal problema que ostenta resolverla es que los números primos son infinitos – con grandes saltos – pero de carácter infinito al fin y al cabo. El método de prueba y error no se puede llevar a cabo para demostrarla sino que se necesita una conclusión universal.

Hasta hoy se ha conseguido encontrar la partición o particiones de Goldbach para todos los números pares mayores de 2  entre 2 y 1018 a través de la supercomputación.

Aquí mostramos la representación sobre cómo escribir los números de Goldbach entre 4 y 1.000.000 según las diferentes particiones:

    

Interpretación: Tenemos representados los números de 4 a 1 millón en ambos ejes (x e y). Cada punto representa un número primo que sumado a otro número primo – otro punto representado – da como resultado el número del eje opuesto.

 

Por otros métodos no tan sofisticados se han conseguido particiones con más de dos factores primos en números mayores – gracias a técnicas de heurística – .

 

Probablemente la conjetura de Goldbach sea el problema más interesante en las Matemáticas y la Teoría de Números seguirá dando fe de ellos muchísimos años más.

 

Si quieres saber más acerca de este enigma te recomendamos dos fuentes:

-          El libro de Doxiadis: “El tío Petros y la conjetura de Goldbach”.

-          La película de firma española: “La habitación de Fermat”.

 

Para conocer cómo se ha estudiado la conjetura débil de Goldbach y su actual solución no te puedes perder el Martes con Mates #7 – la próxima semana -.

#5 Martes Con Mates Teorema de Fermat-Wiles

Bienvenido a un nuevo Martes Con Mates aquí en AlbaCiencia después de las vacaciones que nos hemos tomado desde el día 5 de este mes.

Cerramos el último martes de Agosto con el Teorema más famoso de la Historia de las Matemáticas: el Último Teorema de Fermat o Teorema de Fermat-Wiles – a las cosas por su nombre -.

Su creciente popularidad a lo largo de los siglos ha ido a caballo entre el contexto histórico en el que se desarrolla su formulación y la belleza algebraica que lo define. El halo de misticismo que rodea a su autor y la situación en que lo plantea han conferido, si más no, una enorme obcecación entre todo tipo de matemáticos por demostrarlo. La historia se remonta a cuando Pierre de Fermat escribió al margen de un libro que andaba leyendo por aquel entonces – Arithmetica, obra de Diofanto- que es imposible encontrar dos números elevados a un exponente mayor de 2, cuya suma fuera el resultado de otro número elevado al mismo exponente.

Aunque Fermat lo dejara por escrito, la representación algebraica es la siguiente:

Fermat murió sin demostrarlo. Tan sólo aproximó sus resultados validando que tal propiedad se cumplía para exponente 4 pero nadie sabe si realmente conocía la solución o bien su demostración completa se perdió. La cuestión recae en que Fermat no postuló una hipótesis o estableció una conjetura con una solución parcial sino que afirmó un teorema sin dejar lugar a duda. Además, es bien conocido que Fermat escribió en su libro lo siguiente: Poseo una demostración en verdad maravillosa para este hecho, pero este margen es demasiado estrecho para contenerla. En este enlace podéis leer una traducción del texto latino en el que Fermat afirma la fórmula que acabamos de ver.

Más tarde sería Euler – ¿Os suena del Martes con Mates 2? – quien hiciera lo propio con exponente 3. Otros matemáticos dieron también con la tecla para otros  números (5 y 7) pero nunca ninguno llegó a encontrar una demostración universal.

Cuando el mítico Teorema había pasado prácticamente inadvertido ante las Matemáticas más mediáticas llego Andrew Wiles en 1995 con la demostración. Un artículo de algo menos de 100 páginas que podéis encontrar aquí donde Wiles demuestra el Último Teorema de Fermat.

Por si fuera poco, la demostración de Wiles estaba indirectamente relacionada. El trabajo del matemático británico se centraba en la demostración de la conjetura de Taniyama-Shimura. Esta conjetura indica que cada curva elíptica está relacionada con un elemento matemático unívocamente – este elemento concreto se llama forma modular -. Wiles demostró un caso concreto de esta conjetura para el que, si cumplía este caso, el Último Teorema de Fermat sería verdadero. Habiendo demostrado el primer caso de la conjetura de Taniyama-Shimura por lo tanto el Último Teorema de Fermat sería verdadero.

 Aunque no todo fue tan rápido y tan fácil como se lee. Andrew Wiles estaba equivocado en su primera demostración – la de 1993 -  de manera que tuvo que rectificar y demostrar, ahora sí, el Teorema de Fermat-Wiles.

 Antes de cerrar la entrada os propongo un reto, ¿alguien es capaz de decirme si esta igualdad que aparece en cierto capítulo de Los Simpsons ES o NO ES un contraejemplo al Teorema de Fermat-Wiles?

La igualdad en cuestión es;

1782^12+1841^2 = 1922^12

Y ahora que habéis llegado hasta aquí os voy a dejar un vídeo de la pasada edición del Famelab. Nada más y nada menos que 3 minutos donde se repasa la historia de este magnífico Teorema, su demostración y una canción con mucho gancho.

https://www.youtube.com/watch?v=3p1oirRSKOY

 

Espero que os haya gustado y nos vemos hablando de Mates en el próximo Martes ;)

 

Sugerencias, contacto:

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#4 Martes Con Mates La sucesión de Fibonacci

El siguiente enunciado plantea un problema de la cría de conejos: “Cierto hombre tenía una pareja de conejos juntos en un lugar cerrado y uno desea saber cuántos son creados a partir de este par en un año cuando es su naturaleza parir otro par en un simple mes, y en el segundo mes los nacidos parir también

Los datos son simples, partimos de una pareja que origina otra pareja (ésto aseguraría el relevo generacional) y que se sucede en progenie de forma periódica y exacta a pares. Si analizamos un tiempo lo suficientemente corto para no asumir ninguna muerte natural de los pares nos encontramos que:

-       Tiempo 0: 1 pareja

-       Tiempo 1: 1 + 1 = 2 parejas

-       Tiempo 2: 2 parejas anteriores +  1 pareja nueva = 3 parejas

-       Tiempo 3: 3 parejas anteriores + 2 parejas que se originan del par generacional anterior. (Cada par origina otro par independiente del anterior).

-       Tiempo 4: 5 parejas anteriores + 3 parejas originada por cada nuevo par = 8 parejas totales.

 

Así llegó Fibonacci a resolver el problema que planteamos al principio de la entrada. De la misma manera desarrolló la mal nombrada serie  o correctamente anunciada: sucesión de Fibonacci. No es más que una sucesión finita de números naturales que comienza con el número uno y continúan con el resultante de la suma de los dos últimos valores. Así quedarían las representaciones gráfica en el eje cartesiano y la numérica:

 

 

La representación algorítmica usada en Matemática discreta sigue el patrón que mostramos a continuación (para n = cualquier valor REAL):

 

Curiosidades

Algunas propiedades curiosas de la sucesión son

 

-       Cualquier número natural puede expresarse como la suma de números diferentes de la sucesión.

Por ejemplo: 8 = 5 +3    ;    30 = 21 + 8 + 1.

 

-       La división entre un término y su anterior tiende al límite del número áureo. Esto significa que aunque cada diferencia de n/(n-1) sea diferencia, ésta tiende al número áureo cuando n tiende a infinito.

 

-       Los números consecutivos de Fibonacci son primos ENTRE SÍ mismos.

 

La sucesión de Fibonacci en la naturaleza

 

La sucesión se halla en numerosos motivos de la naturaleza. El árbol genealógico de las abejas macho sigue el patrón de una serie de Fibonacci (así como el patrón de progenie de los conejos anteriores) debido a que no tiene padre, solamente madre (tal que empieza una sucesión 1,1).

Las margaritas disponen las semillas en forma de espiral flanqueadas por los pétalos. Esta distribución sigue en la mayoría de los casos una sucesión de Fibonacci.

La misma sucesión que se puede aplicar a los brazos de las galaxias en forma de espiral que siguen este patrón para ordenar sus estrellas.

#3 Martes Con Mates El Triángulo Aritmético de Fibonacci

En la tercera semana de Martes con Mates toca leer sobre el triángulo aritmético de Fibonacci – quien seguramente conoceréis por su famosa sucesión -  así como su demostración y las propiedades elementales. Fibonacci quería demostrar que la suma de una sucesión de n números elevados al cubo era igual a la suma de esos n números elevada al cuadrado. Queda mejor definido así:

 

Para ello se valió de crear un orden de números enteros e impares en forma de triángulo como la siguiente:

 

Viendo está representación podemos concluir que cada m-ésima fila es una progresión aritmética con el valor medio de m^2. Esto quiere decir que si miramos la fila 2, su valor medio es 2^2=4, si calculamos el valor medio de 5 y 3 este es cuatro. Lo mismo para la tercera fila y su valor medio de 9. Además la suma de los m términos de cada m-ésima fila es m · m^2 = m^3. De esta manera la suma de las primeras n filas consecutivas daría lugar a S (de suma):

 

Sabiendo además que la suma de los primeros k enteros impares es igual a k^2 podemos deducir:

Éste fenómeno se debe a que en  m filas hay 1+2+3+4+…+m números enteros e impares.

¿Cuáles son las propiedades que se deducen del triángulo para su demostración?

-          Primero hemos dicho que cada m-ésima fila tiene m elementos.

-          El valor medio de cada m-ésima fila es de m^2.

-          La suma de los elementos de cada m-ésima fila es de m^2·m= m^3.

#2 Martes con Mates: La identidad de Euler

Bienvenidos a la segunda entrada de Martes con Mates. Hoy tenemos una expresión muy peculiar, seguramente muchos de vosotros ya la conocíais de antes, de la que podemos obtener  relaciones numéricas muy complejas.

Antes de lanzarnos al vació con esta identidad vamos a hablar de su autor. Leonhard Euler – quien merece una publicación aparte – es un matemático y físico de origen suizo aunque pasara gran parte de su vida entre Alemania y Rusia. Es el principal matemático del siglo XVIII y uno de los más reconocidos a lo largo de la Historia. Sus principales descubrimientos tienen su vertiente en la Teoría de Grafos y el Cálculo aunque también realizó considerables aportaciones en campos de astronomía y óptica. Cabe resaltar su autoría como padre de la notación matemática actual y de la definición de función matemática.

Partiendo de esta expresión tenemos 5 números relacionados con las siguientes características:

  • Elementos neutros: El 0 para la adición y el 1 para la multiplicación.

 

  • Números imaginarios: Su máxima representación es la unidad imaginaria o número i, que representa la raíz cuadrada de menos uno. Es también la base para construir números complejos.

 

  • Números irracionales y trascendentes: También tenemos dos, número de Euler y nuestro amigo Pi.

Origen

La identidad de Euler no parte de una inspiración mística sin más sino que es un caso particular (y muy bonito) de la fórmula de Euler. Esta fórmula nos habla de una relación entre las funciones trigonométricas (seno y coseno) y una exponencial. De la siguiente manera, para todo número REAL x se satisface que:

 

Por lo tanto, cuando x es igual a Pi tenemos la siguiente igualdad:

 

Sabiendo que

-          Sen Pi = 0

-          Cos Pi = -1

Solo nos queda sustituir en la siguiente expresión (A) y arreglarla un poco (B):

(A)

 

(B)

 

Cálculos aplicados:

-          El número Pi: Podemos aislar Pi de la fórmula de la identidad de Euler para calcular de otra manera diferente a la puramente geométrica.

-          Logaritmos negativos: el cálculo de logaritmos negativos venía siendo un quebradero de cabeza hasta que se halló esta identidad. De la siguiente manera quedaba resuelto el conflicto: expresar un logaritmo negativo como la suma del mismo logaritmo en positivo y la del log(-1) que es igual pi por imaginario.

Donde ln(-1) es igual a:

Esperemos que os haya gustado nuestra entrada, nos leemos próximamente, hasta el Martes que viene.

#1 “Martes con Mates” y el Teorema de Pitágoras

Bienvenidos a la nueva sección de verano “Martes con Mates”. En la presente serie de entradas que publicaremos durante los  meses estivales vamos a tratar algunas cuestiones matemáticas de forma breve y concisa. Ya sea una ecuación,  conjetura, teorema o demostración, abordaremos sus aspectos principales procurando indagar en su trascendencia puramente matemática.

En esta primera publicación hablamos del famoso Teorema de Pitágoras.

Recae sobre la escuela pitagórica la formulación del siguiente enunciado:

En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

 

 

La expresión general del cateto y sus corolarios derivados son conocidos por todo el mundo. Algo que no parece tan mediático son las múltiples demostraciones que se han llevado a cabo a lo largo de años de historia en diferentes civilizaciones.

Demostración de Zhou Bi Suan Jing

Se halló en un tratado matemático chino de fecha discutible. Se considera coetáneo a Pitágoras pero nadie ha probado que el matemático griego tuviera conocimiento de su existencia.

 

De una manera gráfica se construye un cuadrado de lado c (siendo c el valor de la hipotenusa. Rellenamos el cuadrado con 4 triángulos rectángulos idénticos uniendo cada lado del cuadrado con la hipotenusa de cada triángulo. Vemos como finalmente queda un cuadrado de área menor en el centro. Este cuadrado tiene la longitud exacta de la diferencia de catetos a y b (siendo b < a).

Calculando el área de este cuadrado podemos desarrollar el siguiente binomio:

Cuando vamos a calcular el área del cuadrado grande, ésta es igual a la suma del área de los 4 triángulos más el área del cuadrado pequeño. Que resultaría tal que así:

Representación gráfica del cuadrado compuesto por cuatro triángulos rectángulos iguales y un cuadrado de lado (a – b) en el centro.

El matemático hindú Bhaskara – el segundo de su nombre – partió de las demostraciones chinas para dar con otra posible explicación.

Seguimos con el cuadrado anterior, cuya área es la suma de cuatro triángulos rectángulos más la del cuadrado menor (de lado a – b) y transformamos en la siguiente construcción geométrica. Algebraicamente demostramos que el área de esta nueva figura es la suma de las superficies rojas (lado b al cuadrado) y azules (lado a al cuadrado) y que son del mismo valor que la del cuadrado chino de área c elevado al cuadrado.

La demostración de Garfield fue algo más geométrica. Uniendo dos triángulos por la base como vemos en la imagen de abajo, se puede trazar una línea que uniera ambos vértices libres de cada triángulo dando lugar a un trapecio.

Siendo X la superficie del trapecio e Y la superficie de la figura entera (compuesta por la suma del área de tres triángulos), podemos igualarlas y simplicar.

X

Y

Igualamos

Simplifamos restándole 2ab a cada lado de la igualdad y ya tenemos de nuevo el paradigma geométrico de todo estudiante en su paso por educación secundaria.

La representación gráfica de los dos triángulos rectángulos unidos por el mismo vértice para construir un trapecio:

Espero que os haya gustado. Atendemos cualquier propuesta, sugerencia, mejora o tema que quieras proponer para los nuevos martes de verano. Gracias por haber llegado hasta aquí, puedes dejarnos un comentario aquí o contactar con nosotros a través de las redes sociales (enlaces en la barra lateral izquierda). Buen verano y hasta el próximo Martes ;)