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Monthly Archives: June 2014

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#1 “Martes con Mates” y el Teorema de Pitágoras

Bienvenidos a la nueva sección de verano “Martes con Mates”. En la presente serie de entradas que publicaremos durante los  meses estivales vamos a tratar algunas cuestiones matemáticas de forma breve y concisa. Ya sea una ecuación,  conjetura, teorema o demostración, abordaremos sus aspectos principales procurando indagar en su trascendencia puramente matemática.

En esta primera publicación hablamos del famoso Teorema de Pitágoras.

Recae sobre la escuela pitagórica la formulación del siguiente enunciado:

En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

 

 

La expresión general del cateto y sus corolarios derivados son conocidos por todo el mundo. Algo que no parece tan mediático son las múltiples demostraciones que se han llevado a cabo a lo largo de años de historia en diferentes civilizaciones.

Demostración de Zhou Bi Suan Jing

Se halló en un tratado matemático chino de fecha discutible. Se considera coetáneo a Pitágoras pero nadie ha probado que el matemático griego tuviera conocimiento de su existencia.

 

De una manera gráfica se construye un cuadrado de lado c (siendo c el valor de la hipotenusa. Rellenamos el cuadrado con 4 triángulos rectángulos idénticos uniendo cada lado del cuadrado con la hipotenusa de cada triángulo. Vemos como finalmente queda un cuadrado de área menor en el centro. Este cuadrado tiene la longitud exacta de la diferencia de catetos a y b (siendo b < a).

Calculando el área de este cuadrado podemos desarrollar el siguiente binomio:

Cuando vamos a calcular el área del cuadrado grande, ésta es igual a la suma del área de los 4 triángulos más el área del cuadrado pequeño. Que resultaría tal que así:

Representación gráfica del cuadrado compuesto por cuatro triángulos rectángulos iguales y un cuadrado de lado (a – b) en el centro.

El matemático hindú Bhaskara – el segundo de su nombre – partió de las demostraciones chinas para dar con otra posible explicación.

Seguimos con el cuadrado anterior, cuya área es la suma de cuatro triángulos rectángulos más la del cuadrado menor (de lado a – b) y transformamos en la siguiente construcción geométrica. Algebraicamente demostramos que el área de esta nueva figura es la suma de las superficies rojas (lado b al cuadrado) y azules (lado a al cuadrado) y que son del mismo valor que la del cuadrado chino de área c elevado al cuadrado.

La demostración de Garfield fue algo más geométrica. Uniendo dos triángulos por la base como vemos en la imagen de abajo, se puede trazar una línea que uniera ambos vértices libres de cada triángulo dando lugar a un trapecio.

Siendo X la superficie del trapecio e Y la superficie de la figura entera (compuesta por la suma del área de tres triángulos), podemos igualarlas y simplicar.

X

Y

Igualamos

Simplifamos restándole 2ab a cada lado de la igualdad y ya tenemos de nuevo el paradigma geométrico de todo estudiante en su paso por educación secundaria.

La representación gráfica de los dos triángulos rectángulos unidos por el mismo vértice para construir un trapecio:

Espero que os haya gustado. Atendemos cualquier propuesta, sugerencia, mejora o tema que quieras proponer para los nuevos martes de verano. Gracias por haber llegado hasta aquí, puedes dejarnos un comentario aquí o contactar con nosotros a través de las redes sociales (enlaces en la barra lateral izquierda). Buen verano y hasta el próximo Martes ;)

Breve historia natural de las hormigas león (Neuroptera: Myrmeleontidae)

En algún claro arenoso de uno de nuestros interesantes espartales albacetenses, una fila de pequeñas hormigas negras del género Camponotus se desplaza con parsimonia hacia su cuartel general subterráneo. Caminan sin prisa pero sin pausa, sienten en sus pequeños cuerpos una suerte de primitivo poder predictivo que las pone manos a la obra para proteger la colonia de una lluvia inminente. Estamos a finales de julio, y estas tormentas veraniegas son comunes. Los obreros llevan semillas y restos de animales muertos, así como hojas, ramitas y tierra nueva que van introduciendo en el hormiguero. Los soldados, de amplias cabezas, vigilan que la operación ocurra sin problemas y deambulan alrededor de la marabunta, cerca de la entrada del hormiguero. Como si la escena estuviera cronometrada, poco después de que la última hormiga desaparezca en la oscuridad del reino subterráneo, la lluvia empieza a caer.
Un par de días después, el sol, cuyos rayos volvieron a calentar la tierra a la mañana siguiente de la tormenta, ya ha secado el suelo. Las hormigas vuelven a la superficie con sus quehaceres. Sin descanso, colaboran para hacer más grande y rico el imperio al que pertenecen. A un metro o dos de allí, a los pies de una gran roca erosionada, algo se mueve. Un pequeño bulto de arena y la marca que va dejando delata su presencia, aunque se mueve a unos milímetros bajo el suelo. Se trata de un depredador que aprovecha el factor sorpresa para atacar a sus víctimas y alimentarse. Aquí vive una joven larva de hormiga león. Las lluvias recientes han destruido su trampa y tan pronto como se ha secado la arena, se ha puesto manos a la obra.

Aspecto de la larva de Myrmeleon formicarius. GGSS

La hormiga león, a pesar de su nombre, no es una hormiga típica (Hymenoptera: Formicidae), sino un neuróptero, como las beneficiosas crisopas, los ascálafos o la famosa Nemoptera bipennis, símbolo de la Asociación Española de Entomología. El aspecto (monstruoso si midieran 3 m) de las larvas les otorgó ese nombre (Myrmeleon, el género que da nombre a la familia, significa, literalmente, hormiga león). Son pequeñas criaturas poco más largas que las hormigas normales, de aspecto jorobado, con un abdomen de gruesa cutícula que les protege de las altas temperaturas que alcanza el suelo en los veranos mediterráneos, una cabeza alargada dotada de dos largas estructuras a modo de mandíbulas de aspecto feroz y dos pares de patas dirigidos hacia delante y el otro hacia la parte trasera del abdomen. Tienen un característico modo de locomoción, pues se desplazan siempre hacia atrás por medio de convulsiones abdominales, facilitando su enterramiento.
Como decía, nuestra hormiga león se dispone a construir un nuevo centro de caza: desplazándose en círculos cada vez más cerrados y expulsando arena mediante rápidos movimientos de la cabeza, va creando una especie de embudo en la arena, una trampa, en el fondo del cual permanece tras haberlo construido (1). Al cabo de unas horas, a pocos centímetros de nuestra larvita, van apareciendo más embudos de otras larvas hermanas. Es curioso, pero por lo general, las larvas que construyen su embudo en sitios alejados de zonas más cubiertas por vegetación lo hacen con un menor diámetro, mientras que el de nuestra larva, que se encuentra en una zona más expuesta, es mayor (2).

¿Y ahora qué? Ahora, a esperar. Pueden pasar horas, minutos o segundos, pero tarde o temprano, una hormiga procedente del hormiguero cercano pasará por allí. Ya sea un obrero en busca de comida que llevar al hormiguero o un soldado explorando el terreno circundante, una hormiga caerá al embudo y comenzará la acción. La hormiga intentará salir de la trampa, pero la larva de hormiga león zarandeará la cabeza, lanzándole arena para que caiga, a la vez que las paredes del embudo de arena comenzarán a desmoronarse. Y así ocurre. La hormiga acaba presa de las piezas bucales de la larva de hormiga león, que atraviesan su exoesqueleto inyectando un líquido disolvente que destruye el interior de la hormiga, matándola. Es una muerte cruel pero necesaria. Nuestra larva absorbe su jugo hasta que no queda de la hormiga algo más que una crujiente piel seca. Las presas de las hormigas león no son siempre hormigas, en realidad, cualquier pequeño invertebrado que caiga en su trampa es susceptible de ser su presa, desde arañas de pequeño tamaño hasta isópodos (cochinillas de la humedad o ‘bichos bola’). Cuando la larva ha terminado, con un rápido movimiento de la cabeza, lanza el cuerpo seco de su presa por encima de su embudo para no estorbar, y después lo reconstruye.
Las hormigas león pueden permanecer hasta 3 años en forma de larva, dependiendo de la especie. Pasan las semanas y llega un día en que la larva siente que está preparada para dar el paso: construye un pequeño capullo redondo con granos de arena que une con una especie de seda y se acurruca en su interior. Algunos días después, la larva ya se ha transformado en una criatura amarillenta de grandes ojos que no es ni larva ni adulto (imago), sino crisálida, y permanece prácticamente inmóvil mientras, en su interior, sus tejidos se redistribuyen y van formando futuros órganos.

Crisálida de Myrmeleon formicarius. GGSS

Tras unas pocas semanas, el imago ya está completamente formado y surge de la arena, estirando lentamente sus cuatro alas transparentes. En su último estadio de vida, se parece lo mismo a su larva que una mariposa a su oruga. Su pequeña cabeza es triangular y está dotada de dos enormes ojos de color característico y un par de antenas capitadas, acabadas en un pequeño mazo. El abdomen es largo, otorgándole aspecto de caballito del diablo. Vuelan bastante torpemente al atardecer en busca de un individuo del otro sexo con el que aparearse. Nuestra hormiga león emprende su primer vuelo, que no estará exento de peligro, en busca de pequeños insectos y polen. Puede ser capturada por cualquier ave insectívora, salamanquesa o insecto depredador, como las mantis, aunque no obtendrán mucho alimento debido a la delgadez del imago.

Imago de Myrmeleon formicarius. GGSS

Muchas veces, las hormigas león adultas son atraídas por las luces de la ciudad. Es fácil verlas en las noches de finales de verano revoloteando alrededor de luces de escaparates y farolas, mientras que por el día permanecen con las alas plegadas escondidas o sobre troncos o hierbas. Nuestra hormiga león resulta ser una hembra y, tras haberse apareado, encuentra otra zona arenosa donde depositar sus huevos, que coloca individualmente en la arena. Los adultos sólo tienen un cometido, el de la reproducción. Así que, a los pocos días, muere. Así se repite el ciclo biológico de las hormigas león, un insecto fascinante que pasa desapercibido casi siempre y cuya existencia ignoran la gran mayoría de los humanos.

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(1) En la serie documental El Jardín Viviente, en el capítulo titulado Amantes de la arena, hay una secuencia donde aparece una larva de hormiga león construyendo su nido a alta velocidad. No os la perdáis.
(2) Según Hakan Bozdoğan, Cengiz Bahadıroğlu y Sevil Toroğlu en Some behavioral observations on larvae of Antlion, Myrmeleon formicarius Linnaeus, 1767 (Neuroptera: Myrmeleontidae) in forest and non-forest areas of Kahramanmaras Province, Turkey (Journal of Zoology, 2013).

Un cerdo para criar mi hígado

La oración que reza en el título de esta entrada promete ser un hecho poco surrealista para los próximos años. Antes de tirarnos a la piscina vamos a llenarla poco a poco.  Para ello debemos volver  unos meses atrás, cuando un famoso científico muy conocido por aquí – Juan Carlos Izpisúa – fue portada de la revista Cell con su último trabajo en California.

El investigador albaceteño llevaba ya tiempo estudiando el mecanismo de regeneración en vertebrados en dos instituciones: Instituto Salk (California, USA) y CMRB (Barcelona). Este proceso es una vía regulada por la naturaleza como es el caso de algunos reptiles que regeneran su cola o algún miembro después de una amputación, ya sea intencionada o accidental. Este ejemplo, el de las salamandras, no es el único. Tenemos el famoso pez cebra, entre otros, que puede regenerar aletas, páncreas e incluso el corazón.

Izpisúa ha conseguido regenerar órganos en animales, pero de una forma diferente. Su propuesta pretende perseguir diferentes fines con el mismo medio. Esta técnica tiene una vertiente molecular que se basa en la ingeniería genética y una vertiente celular que se basa en la complementación embriológica.

Lo primero, si queremos conseguir un cerdo que pueda regenerar un órgano habrá que dañar este órgano (o destruirlo). La situación ideal de un proceso regenerativo es partir de cero y revertir su ausencia total. Para ello obtenemos un cerdo sin hígado. Primero, modificamos genéticamente el cerdo sustrayéndole los genes responsables de la formación del órgano en cuestión (páncreas, pulmón, corazón, hígado, etc).

Un embrión carente de alguno de estos órganos vitales no puede desarrollarse y es inviable. Cuando la gestación se da en un embrión con una mutación de este tipo o con un animal modificado genéticamente con una malformación importante en estos órganos hablamos de un aborto espontáneo.  Ahora que ya tenemos un organismo en potencia que carece de alguna o algunos tejidos candidatos a regenerar pasamos a la sustitución.

Un embrión es la célula resultante de la unión de un óvulo y un espermatozoide. A partir de esta célula se producen divisiones sucesivas que luego se especializarán en cada uno de los linajes celulares que conforman la totalidad morfológica y funcional del organismo. En el siguiente esquema se visualizan los primeros estadios del desarrollo embrionario (del orden de días a partir de la fecundación) :

 

Para conseguir que este embrión sea viable necesita la masa celular del órgano concreto que hemos anulado anteriormente. Ahora tomamos células de otro organismo (de momento se ha conseguido con otros de la misma especie). Estas células pueden ser de la piel, por ejemplo, que se revertirán a su estadio embrionario mediante reprogramación genética (células iPS). Al introducir estas células en el embrión, se diferenciarán en el órgano ausente pero con la genética del organismo donante de estas células. El fenotipo resultante del desarrollo de este cerdo “quimérico” es el de un cerdo normal con un hígado genéticamente perteneciente a otro cerdo completamente diferente.

Las perspectivas que ofrece esta nueva invención nos abren un amplio horizonte en cuanto a aplicaciones biomédicas se trata. Lejos de los ya clásicos xenotrasplantes – trasplante de órganos de animales a personas – se abre la veda para intentar esta técnica con trasplantes entre personas. Si en vez de utilizar las células de la piel de otro animal de la misma especie se lleva a cabo el mismo proceso con células humanas tenemos candidatos a donar órganos con la misma compatibilidad genética que el receptor. Saltar la barrera inmunológica en los trasplantes (si además se salta la de especie) es un avance fundamental en la cirugía del futuro. Las opciones no se quedan aquí y podréis encontrar hipotésis, teorías y confabulaciones por doquier.

Antes de nada aún quedan unos obstáculos que merece la pena salvar:

-          La barrera de especie: si realmente es posible un órgano humano en un cerdo, por ejemplo. Es algo que no sabemos. Se postula que para que el animal donador de órganos pudiera desarrollarse con una fracción que no es genéticamente compatible al cien por cien se podría hacer una quimera genética. Una mezcla histocompatible que genéticamente va a caballo entre los dos organismos. Como ya se ha dicho, aún está por ver.

-          La edición genómica. Eliminar todos los genes responsables de la organogénesis particular es una tarea difícil. Más aún si la mayoría de estas unidades no se han identificado o localizado.

Izpisúa ya dejó al mundo entero boquiabierto con sus órganos a la carta y los miniriñones in vitro que tanta reputación le valieron. Veremos si repite honores con este trabajo en 2014 aunque todo señala a que la terapia celular promete tanto como el camino que aún le queda por recorrer.

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 “Este post participa en la XXXI Edición del Carnaval de Biología que acoge Retales de Ciencia

Carlos Moraga y Alfonso Zamora dos matemáticos albaceteños y olímpicos

En este blog ya se han realizado entrevistas a científicos albaceteños en la diáspora comentando sus experiencias.

El pasado 23 de mayo celebramos en los salones de la Diputación de Albacete una ceremonia un tanto especial con motivo de nuestro XXV aniversario, y ya que no pudimos contar con la presencia de Carlos Moraga y Alfonso Zamora, antiguos finalistas y hoy en día brillantes matemáticos, tuvieron la amabilidad de grabarnos estos vídeos y contarnos como fue su paso por la olimpiada y como les va hoy en día.

Mejor que una entrevista que nos cuenten los dos sus experiencias.

Por supuesto que Carlos y Alfonso están hoy en día donde están por su trabajo y valía, pero me váis a permitir que me sienta orgulloso de organizar junto a mis compañeros de la SCMPM esta actividad que ha motivado a estos dos excelentes albaceteños y a otros miles más durante estos 25 años a amar las matemáticas, y a contribuir a su popularización.
Serapio, Juan Emilio, Antonio, Ramón, Jesús, Joaquín, Francis, Carlos, Santiago,Vicente.. y un largo étcetera de compañeros han contribuido a que esta sea la actividad que más alumnos moviliza no sólo en nuestra provincia sino en todo el territorio nacional .

No me olvido de Bernardino del Campo, quién se encuentra en estos momentos resolviendo un problema de los que no están en los libros, pero que comó buen matemático que es, seguro que lo solucionará de la forma más satisfactoria.
Para mi como profesor y como compañero es un auténtico privilegio compartir con él y con el resto de mis compañeros la grata labor de año tras año organizar este certamen y de aprender a mejorar como docente y como persona y que ve frutos tan estupendos como Alfonso y Carlos.

Rafael Pérez dedicando la Conferencia a Bernardino