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Monthly Archives: July 2014

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#4 Martes Con Mates La sucesión de Fibonacci

El siguiente enunciado plantea un problema de la cría de conejos: “Cierto hombre tenía una pareja de conejos juntos en un lugar cerrado y uno desea saber cuántos son creados a partir de este par en un año cuando es su naturaleza parir otro par en un simple mes, y en el segundo mes los nacidos parir también

Los datos son simples, partimos de una pareja que origina otra pareja (ésto aseguraría el relevo generacional) y que se sucede en progenie de forma periódica y exacta a pares. Si analizamos un tiempo lo suficientemente corto para no asumir ninguna muerte natural de los pares nos encontramos que:

-       Tiempo 0: 1 pareja

-       Tiempo 1: 1 + 1 = 2 parejas

-       Tiempo 2: 2 parejas anteriores +  1 pareja nueva = 3 parejas

-       Tiempo 3: 3 parejas anteriores + 2 parejas que se originan del par generacional anterior. (Cada par origina otro par independiente del anterior).

-       Tiempo 4: 5 parejas anteriores + 3 parejas originada por cada nuevo par = 8 parejas totales.

 

Así llegó Fibonacci a resolver el problema que planteamos al principio de la entrada. De la misma manera desarrolló la mal nombrada serie  o correctamente anunciada: sucesión de Fibonacci. No es más que una sucesión finita de números naturales que comienza con el número uno y continúan con el resultante de la suma de los dos últimos valores. Así quedarían las representaciones gráfica en el eje cartesiano y la numérica:

 

 

La representación algorítmica usada en Matemática discreta sigue el patrón que mostramos a continuación (para n = cualquier valor REAL):

 

Curiosidades

Algunas propiedades curiosas de la sucesión son

 

-       Cualquier número natural puede expresarse como la suma de números diferentes de la sucesión.

Por ejemplo: 8 = 5 +3    ;    30 = 21 + 8 + 1.

 

-       La división entre un término y su anterior tiende al límite del número áureo. Esto significa que aunque cada diferencia de n/(n-1) sea diferencia, ésta tiende al número áureo cuando n tiende a infinito.

 

-       Los números consecutivos de Fibonacci son primos ENTRE SÍ mismos.

 

La sucesión de Fibonacci en la naturaleza

 

La sucesión se halla en numerosos motivos de la naturaleza. El árbol genealógico de las abejas macho sigue el patrón de una serie de Fibonacci (así como el patrón de progenie de los conejos anteriores) debido a que no tiene padre, solamente madre (tal que empieza una sucesión 1,1).

Las margaritas disponen las semillas en forma de espiral flanqueadas por los pétalos. Esta distribución sigue en la mayoría de los casos una sucesión de Fibonacci.

La misma sucesión que se puede aplicar a los brazos de las galaxias en forma de espiral que siguen este patrón para ordenar sus estrellas.

#3 Martes Con Mates El Triángulo Aritmético de Fibonacci

En la tercera semana de Martes con Mates toca leer sobre el triángulo aritmético de Fibonacci – quien seguramente conoceréis por su famosa sucesión -  así como su demostración y las propiedades elementales. Fibonacci quería demostrar que la suma de una sucesión de n números elevados al cubo era igual a la suma de esos n números elevada al cuadrado. Queda mejor definido así:

 

Para ello se valió de crear un orden de números enteros e impares en forma de triángulo como la siguiente:

 

Viendo está representación podemos concluir que cada m-ésima fila es una progresión aritmética con el valor medio de m^2. Esto quiere decir que si miramos la fila 2, su valor medio es 2^2=4, si calculamos el valor medio de 5 y 3 este es cuatro. Lo mismo para la tercera fila y su valor medio de 9. Además la suma de los m términos de cada m-ésima fila es m · m^2 = m^3. De esta manera la suma de las primeras n filas consecutivas daría lugar a S (de suma):

 

Sabiendo además que la suma de los primeros k enteros impares es igual a k^2 podemos deducir:

Éste fenómeno se debe a que en  m filas hay 1+2+3+4+…+m números enteros e impares.

¿Cuáles son las propiedades que se deducen del triángulo para su demostración?

-          Primero hemos dicho que cada m-ésima fila tiene m elementos.

-          El valor medio de cada m-ésima fila es de m^2.

-          La suma de los elementos de cada m-ésima fila es de m^2·m= m^3.

#2 Martes con Mates: La identidad de Euler

Bienvenidos a la segunda entrada de Martes con Mates. Hoy tenemos una expresión muy peculiar, seguramente muchos de vosotros ya la conocíais de antes, de la que podemos obtener  relaciones numéricas muy complejas.

Antes de lanzarnos al vació con esta identidad vamos a hablar de su autor. Leonhard Euler – quien merece una publicación aparte – es un matemático y físico de origen suizo aunque pasara gran parte de su vida entre Alemania y Rusia. Es el principal matemático del siglo XVIII y uno de los más reconocidos a lo largo de la Historia. Sus principales descubrimientos tienen su vertiente en la Teoría de Grafos y el Cálculo aunque también realizó considerables aportaciones en campos de astronomía y óptica. Cabe resaltar su autoría como padre de la notación matemática actual y de la definición de función matemática.

Partiendo de esta expresión tenemos 5 números relacionados con las siguientes características:

  • Elementos neutros: El 0 para la adición y el 1 para la multiplicación.

 

  • Números imaginarios: Su máxima representación es la unidad imaginaria o número i, que representa la raíz cuadrada de menos uno. Es también la base para construir números complejos.

 

  • Números irracionales y trascendentes: También tenemos dos, número de Euler y nuestro amigo Pi.

Origen

La identidad de Euler no parte de una inspiración mística sin más sino que es un caso particular (y muy bonito) de la fórmula de Euler. Esta fórmula nos habla de una relación entre las funciones trigonométricas (seno y coseno) y una exponencial. De la siguiente manera, para todo número REAL x se satisface que:

 

Por lo tanto, cuando x es igual a Pi tenemos la siguiente igualdad:

 

Sabiendo que

-          Sen Pi = 0

-          Cos Pi = -1

Solo nos queda sustituir en la siguiente expresión (A) y arreglarla un poco (B):

(A)

 

(B)

 

Cálculos aplicados:

-          El número Pi: Podemos aislar Pi de la fórmula de la identidad de Euler para calcular de otra manera diferente a la puramente geométrica.

-          Logaritmos negativos: el cálculo de logaritmos negativos venía siendo un quebradero de cabeza hasta que se halló esta identidad. De la siguiente manera quedaba resuelto el conflicto: expresar un logaritmo negativo como la suma del mismo logaritmo en positivo y la del log(-1) que es igual pi por imaginario.

Donde ln(-1) es igual a:

Esperemos que os haya gustado nuestra entrada, nos leemos próximamente, hasta el Martes que viene.