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#1 “Martes con Mates” y el Teorema de Pitágoras

Bienvenidos a la nueva sección de verano “Martes con Mates”. En la presente serie de entradas que publicaremos durante los  meses estivales vamos a tratar algunas cuestiones matemáticas de forma breve y concisa. Ya sea una ecuación,  conjetura, teorema o demostración, abordaremos sus aspectos principales procurando indagar en su trascendencia puramente matemática.

En esta primera publicación hablamos del famoso Teorema de Pitágoras.

Recae sobre la escuela pitagórica la formulación del siguiente enunciado:

En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

 

 

La expresión general del cateto y sus corolarios derivados son conocidos por todo el mundo. Algo que no parece tan mediático son las múltiples demostraciones que se han llevado a cabo a lo largo de años de historia en diferentes civilizaciones.

Demostración de Zhou Bi Suan Jing

Se halló en un tratado matemático chino de fecha discutible. Se considera coetáneo a Pitágoras pero nadie ha probado que el matemático griego tuviera conocimiento de su existencia.

 

De una manera gráfica se construye un cuadrado de lado c (siendo c el valor de la hipotenusa. Rellenamos el cuadrado con 4 triángulos rectángulos idénticos uniendo cada lado del cuadrado con la hipotenusa de cada triángulo. Vemos como finalmente queda un cuadrado de área menor en el centro. Este cuadrado tiene la longitud exacta de la diferencia de catetos a y b (siendo b < a).

Calculando el área de este cuadrado podemos desarrollar el siguiente binomio:

Cuando vamos a calcular el área del cuadrado grande, ésta es igual a la suma del área de los 4 triángulos más el área del cuadrado pequeño. Que resultaría tal que así:

Representación gráfica del cuadrado compuesto por cuatro triángulos rectángulos iguales y un cuadrado de lado (a – b) en el centro.

El matemático hindú Bhaskara – el segundo de su nombre – partió de las demostraciones chinas para dar con otra posible explicación.

Seguimos con el cuadrado anterior, cuya área es la suma de cuatro triángulos rectángulos más la del cuadrado menor (de lado a – b) y transformamos en la siguiente construcción geométrica. Algebraicamente demostramos que el área de esta nueva figura es la suma de las superficies rojas (lado b al cuadrado) y azules (lado a al cuadrado) y que son del mismo valor que la del cuadrado chino de área c elevado al cuadrado.

La demostración de Garfield fue algo más geométrica. Uniendo dos triángulos por la base como vemos en la imagen de abajo, se puede trazar una línea que uniera ambos vértices libres de cada triángulo dando lugar a un trapecio.

Siendo X la superficie del trapecio e Y la superficie de la figura entera (compuesta por la suma del área de tres triángulos), podemos igualarlas y simplicar.

X

Y

Igualamos

Simplifamos restándole 2ab a cada lado de la igualdad y ya tenemos de nuevo el paradigma geométrico de todo estudiante en su paso por educación secundaria.

La representación gráfica de los dos triángulos rectángulos unidos por el mismo vértice para construir un trapecio:

Espero que os haya gustado. Atendemos cualquier propuesta, sugerencia, mejora o tema que quieras proponer para los nuevos martes de verano. Gracias por haber llegado hasta aquí, puedes dejarnos un comentario aquí o contactar con nosotros a través de las redes sociales (enlaces en la barra lateral izquierda). Buen verano y hasta el próximo Martes ;)

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