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#2 Martes con Mates: La identidad de Euler

Bienvenidos a la segunda entrada de Martes con Mates. Hoy tenemos una expresión muy peculiar, seguramente muchos de vosotros ya la conocíais de antes, de la que podemos obtener  relaciones numéricas muy complejas.

Antes de lanzarnos al vació con esta identidad vamos a hablar de su autor. Leonhard Euler – quien merece una publicación aparte – es un matemático y físico de origen suizo aunque pasara gran parte de su vida entre Alemania y Rusia. Es el principal matemático del siglo XVIII y uno de los más reconocidos a lo largo de la Historia. Sus principales descubrimientos tienen su vertiente en la Teoría de Grafos y el Cálculo aunque también realizó considerables aportaciones en campos de astronomía y óptica. Cabe resaltar su autoría como padre de la notación matemática actual y de la definición de función matemática.

Partiendo de esta expresión tenemos 5 números relacionados con las siguientes características:

  • Elementos neutros: El 0 para la adición y el 1 para la multiplicación.

 

  • Números imaginarios: Su máxima representación es la unidad imaginaria o número i, que representa la raíz cuadrada de menos uno. Es también la base para construir números complejos.

 

  • Números irracionales y trascendentes: También tenemos dos, número de Euler y nuestro amigo Pi.

Origen

La identidad de Euler no parte de una inspiración mística sin más sino que es un caso particular (y muy bonito) de la fórmula de Euler. Esta fórmula nos habla de una relación entre las funciones trigonométricas (seno y coseno) y una exponencial. De la siguiente manera, para todo número REAL x se satisface que:

 

Por lo tanto, cuando x es igual a Pi tenemos la siguiente igualdad:

 

Sabiendo que

-          Sen Pi = 0

-          Cos Pi = -1

Solo nos queda sustituir en la siguiente expresión (A) y arreglarla un poco (B):

(A)

 

(B)

 

Cálculos aplicados:

-          El número Pi: Podemos aislar Pi de la fórmula de la identidad de Euler para calcular de otra manera diferente a la puramente geométrica.

-          Logaritmos negativos: el cálculo de logaritmos negativos venía siendo un quebradero de cabeza hasta que se halló esta identidad. De la siguiente manera quedaba resuelto el conflicto: expresar un logaritmo negativo como la suma del mismo logaritmo en positivo y la del log(-1) que es igual pi por imaginario.

Donde ln(-1) es igual a:

Esperemos que os haya gustado nuestra entrada, nos leemos próximamente, hasta el Martes que viene.

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