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#3 Martes Con Mates El Triángulo Aritmético de Fibonacci

En la tercera semana de Martes con Mates toca leer sobre el triángulo aritmético de Fibonacci – quien seguramente conoceréis por su famosa sucesión -  así como su demostración y las propiedades elementales. Fibonacci quería demostrar que la suma de una sucesión de n números elevados al cubo era igual a la suma de esos n números elevada al cuadrado. Queda mejor definido así:

 

Para ello se valió de crear un orden de números enteros e impares en forma de triángulo como la siguiente:

 

Viendo está representación podemos concluir que cada m-ésima fila es una progresión aritmética con el valor medio de m^2. Esto quiere decir que si miramos la fila 2, su valor medio es 2^2=4, si calculamos el valor medio de 5 y 3 este es cuatro. Lo mismo para la tercera fila y su valor medio de 9. Además la suma de los m términos de cada m-ésima fila es m · m^2 = m^3. De esta manera la suma de las primeras n filas consecutivas daría lugar a S (de suma):

 

Sabiendo además que la suma de los primeros k enteros impares es igual a k^2 podemos deducir:

Éste fenómeno se debe a que en  m filas hay 1+2+3+4+…+m números enteros e impares.

¿Cuáles son las propiedades que se deducen del triángulo para su demostración?

-          Primero hemos dicho que cada m-ésima fila tiene m elementos.

-          El valor medio de cada m-ésima fila es de m^2.

-          La suma de los elementos de cada m-ésima fila es de m^2·m= m^3.

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