AlbaCiencia

#6 Martes Con Mates La Conjetura de Goldbach

La Conjetura de Goldbach es un problema matemático que lleva de cabeza a los investigadores del gremio desde hace unos cuantos siglos.

En una carta a Euler – nuestro amigo Euler -, Goldbach escribía lo siguiente:

 

Todo número entero mayor que 5 puede escribirse como la suma de tres números primos.

 

Partiendo de estas consideraciones, ya en 1742, Goldbach postuló su famosa conjetura:

 

Todo número par mayor que 2 puede escribirse como la suma de dos números primos.

 

Aquí tenemos una sola conjetura pues el segundo enunciado no es más que una reexpresión de la primera. A esta conjetura se la ha llamado conjetura binaria o conjetura fuerte de Goldbach, pero existe otra conjetura no tan conocida del mismo autor: la conjetura débil.

Esta se puede escribir como:

 

Todo número impar mayor que 9 se puede escribir como la suma de tres números primos impares.

 

En esta entrada vamos a abordar la fuerte. La conjetura débil presumiblemente ha conseguido su demostración completa, por lo que le dedicaremos otra entrada la semana que viene a hablar de ella.

 

Número de Goldbach

Aunque el término se halla ampliamente en desuso, un número de Goldbach es aquel entero par que puede expresarse como la suma de dos números primos. O lo que es lo mismo: Aquel número que cumple la conjetura fuerte.

A continuación tenemos algunos números de Goldbach:

16 = 13 + 3

14 = 7 + 7

12 = 7 + 5

 

Si además tratáis de descomponer los números pares mayores que 2 hasta 20, notaréis que algunos tienen más de una vía de descomposición. Es decir, podemos expresar estos números de Goldbach como diferentes sumas.

Este ejercicio se conoce como partición de Goldbach: consiste en tomar un número de Goldbach o candidato a tal y descomponerlo en suma de dos primos distintos. Como podemos comprobar, existe una o más de una partición para cada número de Goldbach:

100 = 3 + 97 = 11 + 89 = 17 + 83 = 29 + 71 = 41 + 59 = 47 + 53

 

La solución

El estado actual de la resolución de la conjetura fuerte de Goldbach se halla completamente abierto.

La mayoría de la comunidad científica acepta que la conjetura es cierta por motivos probabilísticos. El principal problema que ostenta resolverla es que los números primos son infinitos – con grandes saltos – pero de carácter infinito al fin y al cabo. El método de prueba y error no se puede llevar a cabo para demostrarla sino que se necesita una conclusión universal.

Hasta hoy se ha conseguido encontrar la partición o particiones de Goldbach para todos los números pares mayores de 2  entre 2 y 1018 a través de la supercomputación.

Aquí mostramos la representación sobre cómo escribir los números de Goldbach entre 4 y 1.000.000 según las diferentes particiones:

    

Interpretación: Tenemos representados los números de 4 a 1 millón en ambos ejes (x e y). Cada punto representa un número primo que sumado a otro número primo – otro punto representado – da como resultado el número del eje opuesto.

 

Por otros métodos no tan sofisticados se han conseguido particiones con más de dos factores primos en números mayores – gracias a técnicas de heurística – .

 

Probablemente la conjetura de Goldbach sea el problema más interesante en las Matemáticas y la Teoría de Números seguirá dando fe de ellos muchísimos años más.

 

Si quieres saber más acerca de este enigma te recomendamos dos fuentes:

-          El libro de Doxiadis: “El tío Petros y la conjetura de Goldbach”.

-          La película de firma española: “La habitación de Fermat”.

 

Para conocer cómo se ha estudiado la conjetura débil de Goldbach y su actual solución no te puedes perder el Martes con Mates #7 – la próxima semana -.

2 Thoughts on “#6 Martes Con Mates La Conjetura de Goldbach

  1. José Mª Abejas Juárez on 9 November, 2014 at 22:33 said:

    En serio, nadie lo ha demostrado? Aparentemente parece sencillo, yo creo que tengo la solución.Parece conveniente que la publique aquí?

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *


6 + five =

You may use these HTML tags and attributes: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>

Post Navigation